구의 부피
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구의 부피 계산기 설명
구는 공처럼 완전히 둥근 3차원 기하학적 물체입니다. 이 계산기는 반지름을 알고 있을 때 구의 부피를 계산하거나 부피를 알고 있을 때 반지름을 구하는 데 도움을 주기 위해 제작되었습니다. 이러한 개념 이해는 기하학에서 필수적이며, 구형 물체가 차지하는 공간량 계산이나 주어진 부피에 따른 구 크기 파악 등 실제 응용 분야에 적용할 수 있습니다.
계산 항목
이 계산기는 구의 반지름으로 부피를 계산하거나 부피로 반지름을 역산할 수 있습니다:
- 부피 계산: 구의 중심에서 표면까지 거리(반지름)를 알 경우 부피 산출 가능
- 반지름 계산: 구의 부피를 알 경우 반지름 역산 가능
필요 입력 값 및 의미
효율적인 사용을 위해 다음 두 주요 매개변수를 이해해야 합니다:
- 부피(V): 구 내부에 포함된 공간량. cm3/m3 등 입방 단위로 측정
- 반지름(r): 구 중심에서 외곽까지 거리. cm/m 등 길이 단위 사용
사용 예시
반지름 5cm 구의 부피 계산 시:
- 1단계: 반지름 입력 \( r = 5 \, \text{cm} \)
- 2단계: 계산기에서 수식 적용
- 3단계: 결과 약 523.6 cm3 출력
부피 1000cm3 구의 반지름 계산 시:
- 1단계: 부피 입력 \( V = 1000 \, \text{cm}^3 \)
- 2단계: 역산 공식 적용
- 3단계: 반지름 약 6.2cm 출력
사용 단위
- 반지름: 센티미터/미터 등 길이 단위
- 부피: 반지름 단위의 세제곱(예: 미터 → m3)
수학적 공식 및 의미
구 부피 공식:
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
- \( V \): 구 부피
- \( \pi \approx 3.14159 \): 원주율
- \( r^3 \): 반지름 세제곱
- \(\frac{4}{3}\): 구 기하학적 비례 상수
반지름 역산 공식:
\[ r = \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{1/3} \]
핵심 개념:
- 반지름 세제곱은 3차원 공간 반영
- 4/3 및 π 계수는 구 형태에 대한 정확한 보정
이해를 통해 계산기 효율적 사용과 기하학적 원리 심층 파악이 가능합니다. 해당 공식들은 수학/과학 실험에서 구 차원 계산에 필수적입니다.
퀴즈: 구의 부피에 대한 지식 테스트
1. 구의 부피 공식은 무엇인가요?
공식은 \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)입니다. 여기서 \( r \)은 반지름을 나타냅니다.
2. 구의 반지름은 무엇을 나타내나요?
반지름은 구의 중심에서 표면의 어느 한 점까지의 거리를 나타냅니다.
3. 구의 부피 공식에 사용되는 수학 상수는 무엇인가요?
파이(\( \pi \)), 약 3.14159의 값을 가집니다.
4. 구의 반지름이 두 배가 되면 부피는 어떻게 변하나요?
부피는 8배 증가합니다(부피가 \( r^3 \)에 비례하기 때문입니다).
5. 미터법에서 부피 단위는 무엇인가요?
세제곱 단위인 \( \text{cm}^3 \), \( \text{m}^3 \), 또는 리터(1리터 = 1000 \( \text{cm}^3 \)) 등이 사용됩니다.
6. 반지름이 1cm인 구의 부피는 얼마인가요?
\( V = \frac{4}{3} \pi (1)^3 = \frac{4}{3} \pi \, \text{cm}^3 \).
7. 참/거짓: 구의 부피는 반지름의 세제곱에 비례합니다.
참입니다. 공식에서 반지름은 세제곱됩니다.
8. 같은 반지름을 가진 구와 원기둥(높이=구의 지름)의 부피 관계는 어떻게 되나요?
구의 부피는 원기둥 부피의 \( \frac{2}{3} \)입니다(원기둥의 높이가 \( 2r \)인 경우).
9. 부피 계산 시 구로 모델링할 수 있는 실제 물체의 예를 들라면?
예시: 농구공, 지구, 물방울 등.
10. 지름(\( d \))을 사용한 구의 부피 공식은 무엇인가요?
\( V = \frac{1}{6} \pi d^3 \) (\( r = \frac{d}{2} \)이기 때문입니다).
11. 반지름 3미터인 구의 부피를 계산하세요.
\( V = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = 36 \pi \, \text{m}^3 \).
12. 구의 부피가 \( 288\pi \, \text{cm}^3 \)일 때 반지름은 얼마인가요?
\( \frac{4}{3} \pi r^3 = 288\pi \) 풀이. 반지름 \( r = \sqrt[3]{216} = 6 \, \text{cm} \).
13. 반지름 5cm의 풍선 반지름을 두 배로 늘리려면 공기가 얼마나 필요한가요?
새 부피 = \( \frac{4}{3} \pi (10)^3 = \frac{4000}{3} \pi \, \text{cm}^3 \). 필요한 공기량 = 새 부피 - 원래 부피 = \( \frac{4000}{3} \pi - \frac{500}{3} \pi = \frac{3500}{3} \pi \, \text{cm}^3 \).
14. 구와 정육면체의 부피가 같습니다. 정육면체 변길이가 10cm일 때 구의 반지름은 얼마인가요?
정육면체 부피 = \( 10^3 = 1000 \, \text{cm}^3 \). \( \frac{4}{3} \pi r^3 = 1000 \) 풀이. 반지름 \( r = \sqrt[3]{\frac{750}{\pi}} \approx 6.2 \, \text{cm} \).
15. 반구(반쪽 구)의 부피가 \( 144\pi \, \text{m}^3 \)일 때 전체 구의 반지름은 얼마인가요?
반구 부피 = \( \frac{2}{3} \pi r^3 = 144\pi \). \( r^3 = 216 \) 풀이. \( r = 6 \, \text{m} \). 전체 구 반지름은 6미터입니다.